Logika Pembuktian

Soal1
Jika diketahui n adalah ganjil, maka n2  adalah .....
A. Ganjil
B. Genap
C. konstanta
D. A dan B benar
E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ganjil
Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga
n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n2 ganjil.
n2 = (2k + 1)2
     = 4k2 + 4k + 1
     = 2(2k2 + 2k) +1.
Perhatikan bahwa n2 = 2(2k2 + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n2 adalah ganjil.


Soal 2
Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…
A. Jika p benar maka q benar
B. Jika ~q benar maka ~p juga harus benar
C. Membuat permisalan jika p maka q adalah benar
D. Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli
E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar
Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.


Soal 3
Yang manakah yang termasuk dalam metode  pembuktian tidak langsung…
A. Metode kontraposisi
B. Metode Disjungsi
C. Metode Equivalen
D. Metode Ingkarang
E. Metode Eliminasi

Jawaban : A. Metode kontraposisi
Karena metode kontraposisi termasuk metode pembuktian tidak langsung.


Soal 4
Bertikut ini adalah pernyataan yang benar mengenai prinsip induksi sederhana, kecuali.....
A. N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif
B. P(1) bernilai benar
C. P(n+1) harus bernilai benar
D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil
E. P(n) harus bernilai benar

Jawaban : D. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil
Karena, salah satu ciri dari induksi sederhana adalah N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif, sementara pada pilihan D hanya untuk bilangann ganjil.


Soal 5
Apakah N3 + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?
A. ya dan ya
B. ya dan tidak
C. tidak dan bisa jadi
D. tidak dan tidak
E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ya dan ya
q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :
               13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n = 1)
q induksi (misalkan) untuk n = k asumsikan menjadi k3 + 2k = 3x
q adib untuk n = k + 1 berlaku :
               (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
               (k3 + 3k2 + 3k+1) + 2k + 2
               (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
               (k3 + 2k) + 3 (k2 + k + 1)
               induksi
               3x + 3 (k2 + k + 1)
               3 (x + k2 + k + 1)
Kesimpulan : N3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku kelipatan 3).


Soal 6
Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah...
A. 15 habis dibagi 3
B. 15 adalah bilangan ganjil
C. 3 adalah bilangan ganjil
D. 3 habis dibagi 3
E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. 15 adalah bilangan ganjil
Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil         (p → q)
15 habis dibagi 3                                                                    (p        )
∴   15 adalah bilangan ganjil                                                 (         q)


Soal 7
misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). p(n + 1) bernilai...
A. Benar
B. Salah
C. A dan B benar
D. A dan B salah
E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Benar
jika p(n + 1) benar, maka :
n = n + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2(n + 1) = n + 1(n + 1 + 1)
2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)
2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2
                      = n2 + n + 2n + 2
                      = n2 + 3n + 2
                      = (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar.


Soal 8
Penyelesaian dari 6x + 8y = 21 dan 3x + 4y = 7 dengan metode eleminasi adalah...
A. 7 = 2
B. 1 = 7
C. 0 = 7
D. 7 = 1
E. 2 = 7

Jawaban : C. 0 = 7
6x + 8y = 21   -->  6x + 8y = 21
3x + 4y = 7     -->  6x + 8y = 14 (persamaan kedua dikalikan dengan 2)
                                            0 = 7
Soal 9
Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka terbuktik bahwa mn
adalah ...
A. bukan kuadrat sempurna
B. kuadrat sempurna
C. Konstanta
D. A dan C benar
E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : B. kuadrat sempurna
Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya
m = k2, n = p2 untuk suatu k, p bilangan bulat.
mn = (k2)(p2)
      = (kp)2
Karena k, p


Soal 10
Dibawah ini pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...
A. 3 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2
B. 4 adalah bilangan genap sebab terdapat 1
C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2
D. A, B, dan C benar
E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : C. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2
Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga
n = 2k + 1.
5 = 2(2) + 1
5 = 4 + 1
5 = 5